Limite di $\frac{x}{\left(x+1\right)}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identificazione della forma indeterminata

   Sostituiamo $x\to +\infty$ nel limite:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+1}$$

   Sia il numeratore che il denominatore tendono a $+\infty$, quindi abbiamo una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty }{\infty }$.

2. 2

   Semplificazione algebrica (metodo dei termini dominanti)

   Per risolvere, raccogliamo $x$ al numeratore e al denominatore:

   $$\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$$

   Ora, per $x\to +\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, quindi:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   La forma $\frac{\infty }{\infty }$ ci permette di applicare L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{d}{dx}[x]}{\frac{d}{dx}[x+1]}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1}=1$$

   Anche questo metodo conferma il risultato.

4. 4

   Verifica con lo sviluppo in serie

   Per $x$ grande, possiamo espandere la funzione con il binomio di Newton o la serie geometrica:

   $$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\cdots$$

   Il termine dominante è $1$, e tutti i termini successivi tendono a $0$ per $x\to +\infty$, quindi il limite è $1$.

Domande frequenti

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