Limite di $\frac{\left(3\cdot x^2-x\right)}{\left(x^2+5\right)}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Divisione per la potenza massima

   Per risolvere il limite, si divide numeratore e denominatore per $x^2$, il termine di grado maggiore al denominatore.

   Questo permette di semplificare l'espressione e valutare il comportamento all'infinito.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x}{x^2+5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x^2}}$$

   Quando $x\to +\infty$, i termini $\frac{1}{x}$ e $\frac{5}{x^2}$ tendono a $0$.

   Il limite diventa quindi $\frac{3-0}{1+0}=3$.

2. 2

   Verifica con il teorema di de l'Hôpital

   Poiché la forma è $\frac{\infty }{\infty }$, si applica il teorema di de l'Hôpital derivando separatamente numeratore e denominatore.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x}{x^2+5}\stackrel{\text{H}}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x-1}{2x}$$

   Il nuovo limite è ancora $\frac{\infty }{\infty }$, quindi si applica nuovamente l'Hôpital:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x-1}{2x}\stackrel{\text{H}}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{2}=3$$

   Entrambi i metodi danno lo stesso risultato, confermando che il limite è $3$.

Domande frequenti

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