Limite di $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identificazione della forma indeterminata

   Per $x\to +\infty$, si ha $\sqrt{x^2+1}\to +\infty$ e $x\to +\infty$, quindi la frazione $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$.

   Riscriviamo l'espressione in modo da eliminare l'indeterminazione.

2. 2

   Riscrittura algebrica (divisione per $x$)

   Dividiamo numeratore e denominatore per $x$ (con $x>0$):

   $$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.$$

   Si noti che $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ (per $x>0$), e quindi il rapporto si semplifica direttamente in $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$.

3. 3

   Calcolo del limite

   Ora è immediato:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{1+0}=1.$$

   Quindi il limite vale $1$.

4. 4

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Deriviamo numeratore e denominatore separatamente:

   $$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2+1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\frac{d}{dx}x=1.$$

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+1/x^2}}=1.$$

   I due metodi concordano, confermando il risultato.

Domande frequenti

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