Limite di $\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Limite notevole fondamentale

   Il limite ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}$ è uno dei limiti notevoli più comuni, il cui valore è $1$.

   Esso coincide con la derivata di $\ln (1+x)$ calcolata in $x=0$:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}={\frac{d}{dx}\ln (1+x)|}_{x=0}=\frac{1}{1+0}=1.$$
2. 2

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Poiché per $x\to 0$ sia numeratore che denominatore tendono a $0$ (forma indeterminata $0/0$), possiamo applicare L'Hôpital derivando separatamente:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}\ln (1+x)}{\frac{d}{dx}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\frac{1}{1+0}=1.$$
3. 3

   Verifica con lo sviluppo di Taylor

   Lo sviluppo in serie di $\ln (1+x)$ intorno a $0$ è $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots$.

   Dividendo per $x$ si ottiene:

   $$\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\dots \underset{x\to 0}{\to }1.$$

   Tutti i metodi convergono al valore $1$.

Domande frequenti

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