Limite di $\frac{\left(e^x-1\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento forma indeterminata

   Per $x\to 0$, sia $e^x-1\to 0$ che $x\to 0$, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Applicazione del teorema di de L'Hôpital

   Poiché le funzioni sono derivabili e il denominatore non è nullo in un intorno di $0$ (tranne al punto), possiamo applicare la regola di de L'Hôpital:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(e^x-1)}{\frac{d}{dx}(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{1}=e^0=1.$$
3. 3

   Verifica tramite sviluppo di Taylor

   Utilizziamo lo sviluppo in serie di $e^x$ attorno a $0$: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$.

   Allora

   $$\frac{e^x-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)}{x}=1+\frac{x}{2!}+o(x)\to 1\text{per }x\to 0.$$

   Il risultato concorda con quello ottenuto tramite de L'Hôpital.

Domande frequenti

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