Limite di $\frac{\left(x^3+1\right)}{\left(x^2+1\right)}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

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   Identificazione della forma indeterminata

   Osserviamo il limite:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+1}{x^2+1}$$

   Sia il numeratore che il denominatore divergono a $+\infty$, quindi ci troviamo nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$.

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   Riscrittura mediante divisione per $x^2$

   Dividiamo numeratore e denominatore per $x^2$ (la potenza massima del denominatore) per eliminare l'indeterminazione:

   $$\frac{x^3+1}{x^2+1}=\frac{\frac{x^3}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{x+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$$

   Quando $x\to +\infty$, $\frac{1}{x^2}\to 0$, quindi il limite diventa:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{+\infty }{1}=+\infty$$
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   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Poiché il limite è nella forma $\frac{\infty }{\infty }$, possiamo applicare L'Hôpital derivando numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+1}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{2}$$

   Si ottiene ancora $\frac{\infty }{\infty }$, applichiamo nuovamente L'Hôpital:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\text{?}$$

   Attenzione: nella seconda applicazione, la derivata di $3x$ è $3$, quella di $2$ è $0$: il limite diventerebbe $\frac{3}{0}$?

   No, sbaglio.

   Riapplichiamo correttamente: dopo la prima derivata abbiamo $\frac{3x^2}{2x}=\frac{3}{2}x$.

   Questo è ancora $\infty /\infty$?

   No, è $\frac{3}{2}x$ che tende a $+\infty$ direttamente.

   Quindi non serve una seconda applicazione di L'Hôpital.

   Basta osservare:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{2}=+\infty$$

   Pertanto il limite è $+\infty$, in accordo con il metodo precedente.

Domande frequenti

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