Limite di $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione diretta e forma indeterminata

   Sostituendo $x=0$ si ottiene $\frac{\sin 0}{0}=\frac{0}{0}$, una forma indeterminata.

   Non possiamo concludere direttamente.

   Procediamo con metodi analitici.

2. 2

   Regola di L'Hôpital

   La forma $\frac{0}{0}$ permette di applicare il teorema di L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore separatamente: - Derivata di $\sin x$: $\cos x$. - Derivata di $x$: $1$.

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1.$$
3. 3

   Sviluppo di Taylor (serie di Maclaurin)

   Scriviamo il polinomio di Taylor di $\sin x$ centrato in $0$:

   $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4).$$

   Sostituendo nel limite:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)=1.$$

   Anche questo metodo conferma il risultato.

4. 4

   Verifica con approccio geometrico (opzionale)

   Dal punto di vista geometrico, il limite ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ è noto come limite fondamentale.

   I due metodi precedenti concordano, quindi il risultato è verificato con sicurezza.

Domande frequenti

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