Limite di $\frac{\left(1-\cos \left(x\right)\right)}{x^2}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento forma indeterminata

   Il limite per $x\to 0$ di $\frac{1-\cos x}{x^2}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

   Possiamo applicare la regola di L'Hôpital o utilizzare identità trigonometriche e limiti notevoli.

2. 2

   Applicazione regola di L'Hôpital (prima volta)

   Deriviamo numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}{\frac{d}{dx}(x^2)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}$$

   Ancora forma $\frac{0}{0}$; applichiamo di nuovo L'Hôpital.

3. 3

   Seconda applicazione di L'Hôpital o limite notevole

   Deriviamo di nuovo:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{2}=\frac{\cos 0}{2}=\frac{1}{2}$$

   Alternativamente, usando ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, otteniamo $\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$.

4. 4

   Verifica con sviluppo di Taylor

   Espandiamo $\cos x$ in serie di Maclaurin:

   $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$$

   Quindi $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots$.

   Dividendo per $x^2$:

   $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24}+\cdots$$

   Per $x\to 0$, il limite è $\frac{1}{2}$.

5. 5

   Verifica con identità trigonometrica

   Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $1+\cos x$:

   $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}$$

   Per $x\to 0$, $\frac{\sin x}{x}\to 1$, $1+\cos x\to 2$, quindi il limite è $\frac{1}{2}$.

Domande frequenti

Esercizi correlati