Limite di $\frac{x}{e^x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identificazione della forma e applicazione del teorema di de l'Hôpital

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$.

   Possiamo quindi applicare il teorema di de l'Hôpital, derivando numeratore e denominatore separatamente.

   La derivata del numeratore $x$ è $1$; la derivata del denominatore $e^x$ è $e^x$ stessa.

   Otteniamo:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}$$
2. 2

   Calcolo del limite risultante

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{e^x}$ è immediato: poiché $e^x\to +\infty$, il suo reciproco tende a $0$.

   Pertanto:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$$

   Verifica: Si poteva osservare che per $x>0$ la funzione $e^x$ cresce esponenzialmente più velocemente di ogni potenza di $x$, quindi il rapporto tende a $0$.

   Tale risultato è coerente anche con lo sviluppo in serie (ad esempio, per $x$ grande, $e^x$ domina $x$).

Domande frequenti

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