Limite di $\frac{\ln \left(x\right)}{x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identificazione della forma indeterminata

   Per $x\to +\infty$, $\ln (x)\to +\infty$ e $x\to +\infty$, quindi il rapporto $\frac{\ln (x)}{x}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$.

2. 2

   Applicazione della regola di L'Hôpital

   Poiché le funzioni sono derivabili (per $x>0$) e il limite del rapporto delle derivate esiste, applichiamo la regola di L'Hôpital:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{d}{dx}[\ln (x)]}{\frac{d}{dx}[x]}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1/x}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}.$$
3. 3

   Calcolo del limite finale e verifica

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$.

   Verifica: anche senza L'Hôpital, sappiamo che per $x>0$, $\ln (x)$ cresce più lentamente di qualsiasi potenza positiva di $x$, quindi il rapporto tende a $0$.

   Il risultato è coerente: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (x)}{x}=0$.

Domande frequenti

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