Limite di $\frac{x^2}{e^x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Individuazione della forma indeterminata e applicazione della regola di L'Hôpital

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2}{e^x}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$.

   Applicando la regola di L'Hôpital, deriviamo numeratore e denominatore separatamente:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{e^x}$$

   Il nuovo limite è ancora $\frac{\infty }{\infty }$, quindi applichiamo nuovamente L'Hôpital:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x}$$

   Ora il denominatore tende a $+\infty$, mentre il numeratore è costante $2$, quindi il limite vale $0$.

2. 2

   Verifica con sviluppo asintotico

   Per $x\to +\infty$, la funzione esponenziale $e^x$ cresce più rapidamente di qualsiasi potenza di $x$.

   Equivalentemente, $\frac{x^2}{e^x}=x^2{e}^{-x}$ tende a $0$ poiché il fattore esponenziale domina.

   Questo conferma il risultato ottenuto tramite L'Hôpital.

Domande frequenti

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