Limite di $\frac{\left(\tan \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)}{x^3}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura dell'espressione

   La funzione è nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$ per $x\to 0$.

   Riscriviamo:

   $$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}.$$

   Quindi il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}.$$
2. 2

   Sviluppo in serie di Taylor

   Sviluppiamo $\sin x$, $\cos x$ e $\tan x$ in serie di Maclaurin (intorno a $0$):

   $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4),\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

   Allora

   $$\tan x-\sin x=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+O(x^5)=\frac{x^3}{2}+O(x^5).$$

   Pertanto

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}+O(x^5)}{x^3}=\frac{1}{2}.$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Applicando L'Hôpital tre volte (poiché le derivate successive si annullano fino all'ordine 2):

   - Primo passo: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sec }^{2}x-\cos x}{3x^2}$, ancora $\frac{0}{0}$. - Secondo passo: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sec }^{2}x\tan x+\sin x}{6x}$, ancora $\frac{0}{0}$. - Terzo passo: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(2{\sec }^{2}x{\tan }^{2}x+{\sec }^{4}x)+\cos x}{6}=\frac{2(0+1)+1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

   I due metodi concordano sul risultato $\frac{1}{2}$.

Domande frequenti

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