Limite di $x\cdot \ln \left(x\right)$ per $x\to 0^{+}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Trasformazione del limite e applicazione della regola di L'Hôpital

   Il limite ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$ si presenta nella forma indeterminata $0\cdot (-\infty )$.

   Per applicare la regola di L'Hôpital, lo riscriviamo come rapporto:

   $$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.$$

   Per $x\to 0^{+}$, $\ln x\to -\infty$ e $1/x\to +\infty$, ottenendo la forma indeterminata $\frac{-\infty }{+\infty }$.

   Applichiamo L'Hôpital derivando numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-\frac{1/x}{1/x^2}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0.$$

   Il risultato è quindi $0$.

2. 2

   Verifica con il limite notevole del logaritmo

   Un metodo alternativo è usare il limite notevole ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{\ln t}{t}=0$.

   Ponendo $t=1/x$, quando $x\to 0^{+}$ si ha $t\to +\infty$, e:

   $$x\ln x=\frac{1}{t}\ln \left(\frac{1}{t}\right)=\frac{-\ln t}{t}.$$

   Allora ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{-\ln t}{t}=-0=0$, confermando il risultato precedente.

Domande frequenti

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