Limite di $\frac{e^x}{x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento della forma indeterminata

   Il limite da calcolare è:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}$$

   Per $x\to +\infty$, sia il numeratore $e^x$ che il denominatore $x$ tendono a $+\infty$, quindi ci troviamo in una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty }{\infty }$.

2. 2

   Applicazione del teorema di L'Hôpital

   Poiché le condizioni del teorema di L'Hôpital sono soddisfatte (derivabili, forma $\frac{\infty }{\infty }$), possiamo derivare numeratore e denominatore separatamente:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{d}{dx}{e}^x}{\frac{d}{dx}x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{1}=+\infty$$

   La derivata di $e^x$ è $e^x$, mentre la derivata di $x$ è $1$.

   Il limite risultante è chiaramente $+\infty$.

3. 3

   Verifica con confronto di crescenza (metodo alternativo)

   Un secondo metodo indipendente consiste nell'osservare la gerarchia degli infiniti.

   È noto che per ogni $n\in \mathbb{N}$, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^n}{e^x}=0$.

   In particolare, per $n=1$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$$

   Inoltre, si può utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor attorno a un punto grande?

   Non necessario; la proprietà di crescita esponenziale è sufficiente.

   Entrambi i metodi concordano sul risultato $+\infty$.

Domande frequenti

Esercizi correlati