Limite di $\frac{\left(\sin \left(x\right)-x\right)}{x^3}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola di L'Hôpital (forma $\frac{0}{0}$)

   Il limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$ è nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

   Applichiamo la regola di L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore separatamente fino a ottenere una forma calcolabile.

   Prima derivata:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{3x^2}$$

   Ancora $\frac{0}{0}$.

   Deriviamo nuovamente:

   Seconda derivata:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin x}{6x}$$

   Ora il limite è $\frac{0}{0}$, ma possiamo usare il limite notevole ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin x}{6x}=-\frac{1}{6}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6}\cdot 1=-\frac{1}{6}$$
2. 2

   Verifica con sviluppo di Taylor

   Sviluppiamo $\sin x$ in serie di Maclaurin fino al terzo ordine:

   $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

   Sostituendo nel numeratore:

   $$\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

   Dividendo per $x^3$:

   $$\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}+O(x^2)$$

   Quando $x\to 0$, il termine $O(x^2)$ tende a $0$, quindi il limite è $-\frac{1}{6}$.

   I due metodi concordano.

Domande frequenti

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