Limite di $\frac{\left(x^2-x-6\right)}{\left(x-3\right)}$ per $x\to 3$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento della forma indeterminata e fattorizzazione

   Il limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$ quando $x\to 3$.

   Fattorizziamo il numeratore: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

   $$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

   Quindi la funzione diventa $\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}$.

2. 2

   Semplificazione e calcolo diretto

   Per $x\ne 3$, possiamo semplificare il fattore comune $(x-3)$:

   $$\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2$$

   Ora il limite è semplice da calcolare:

   $$\underset{x\to 3}{\lim }(x+2)=3+2=5$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   La regola di L'Hôpital può essere applicata alla forma $\frac{0}{0}$.

   Deriviamo numeratore e denominatore separatamente:

   $$D(x^2-x-6)=2x-1,D(x-3)=1$$

   Quindi:

   $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-x-6}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x-1}{1}=2\cdot 3-1=5$$

   Il risultato coincide con il calcolo precedente.

4. 4

   Verifica con lo sviluppo di Taylor

   Sostituiamo $x=3+h$ con $h\to 0$:

   $$(3+h{)}^2-(3+h)-6=9+6h+h^2-3-h-6=5h+h^2$$

   Il denominatore diventa $h$.

   Quindi:

   $$\frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{5h+h^2}{h}=5+h$$

   Per $h\to 0$, l'espressione tende a $5$.

   Anche in questo caso il risultato è confermato.

Domande frequenti

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