Limite di $\frac{\left(x^3-1\right)}{\left(x-1\right)}$ per $x\to 1$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Scomposizione del polinomio

   Il limite presenta una forma indeterminata $0/0$ poiché numeratore e denominatore si annullano per $x=1$.

   Scomponiamo il numeratore usando la differenza di cubi:

   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

   Sostituendo nell'espressione originale otteniamo:

   $$\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1$$

   per $x\ne 1$.

   Il limite quindi diventa:

   $$\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$$
2. 2

   Verifica con il teorema di L'Hôpital

   Per confermare il risultato, applichiamo la regola di L'Hôpital alla forma indeterminata $0/0$:

   Derivata del numeratore: $D(x^3-1)=3x^2$ Derivata del denominatore: $D(x-1)=1$

   Quindi:

   $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2}{1}=3\cdot 1^2=3$$

   Il risultato coincide perfettamente.

3. 3

   Verifica con sviluppo di Taylor

   Sviluppiamo $x^3$ attorno a $x=1$: $x^3=1+3(x-1)+3(x-1{)}^2+(x-1{)}^3$.

   Quindi:

   $$\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{3(x-1)+3(x-1{)}^2+(x-1{)}^3}{x-1}=3+3(x-1)+(x-1{)}^2$$

   Per $x\to 1$, il limite tende a $3$.

   La verifica è completa.

Domande frequenti

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