Limite di $\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(x-1\right)}$ per $x\to 1$

Svolgimento passo-passo

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   Riconoscimento forma indeterminata

   Sostituendo direttamente $x=1$ si ottiene $\frac{\sqrt{1}-1}{1-1}=\frac{0}{0}$, una forma indeterminata.

   Per rimuovere l'indeterminazione si può razionalizzare il numeratore.

2. 2

   Razionalizzazione e semplificazione

   Moltiplico numeratore e denominatore per $\sqrt{x}+1$ (il coniugato del numeratore):

   $$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$$

   Poiché $x\ne 1$ nel limite, posso semplificare il fattore $x-1$:

   $$\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$
3. 3

   Calcolo diretto del limite

   Ora la funzione è continua in $x=1$, quindi:

   $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

   Il risultato è $\frac{1}{2}$.

4. 4

   Verifica con metodi indipendenti

   Regola di L'Hôpital: derivata del numeratore $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, derivata del denominatore $\frac{d}{dx}(x-1)=1$.

   Il limite diventa ${\lim }_{x\to 1}\frac{1/(2\sqrt{x})}{1}=\frac{1}{2}$.

   Sviluppo di Taylor: $\sqrt{x}=1+\frac{1}{2}(x-1)+o(x-1)$, quindi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{2}(x-1)+o(x-1)$.

   Dividendo per $x-1$: $\frac{1}{2}+o(1)\to \frac{1}{2}$.

   Tutti i metodi concordano, il limite è $\frac{1}{2}$.

Domande frequenti

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