Limite di $\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}$ per $x\to 2$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Semplificazione algebrica della forma indeterminata

   La funzione presenta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ per $x\to 2$:

   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$$

   Notiamo che il numeratore è una differenza di quadrati: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

   Pertanto possiamo riscrivere il limite come:

   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$

   Per $x\ne 2$, il fattore $(x-2)$ si semplifica, ottenendo:

   $$\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)$$
2. 2

   Calcolo diretto del limite

   Ora la funzione semplificata è continua in $x=2$, quindi possiamo sostituire direttamente:

   $$\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=2+2=4$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Per confermare, applichiamo la regola di L'Hôpital (valida per la forma $\frac{0}{0}$):

   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(x^2-4)}{\frac{d}{dx}(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x}{1}=2\cdot 2=4$$

   I due metodi coincidono.

   Il limite esiste ed è $4$.

Domande frequenti

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