Limite di $\frac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Razionalizzazione del numeratore

   Per eliminare la forma indeterminata $0/0$, moltiplico numeratore e denominatore per il coniugato di $\sqrt{x+1}-1$, cioè $\sqrt{x+1}+1$:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$

   Semplificando il numeratore e poi la $x$:

   $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$

   Ora posso sostituire $x=0$ nella funzione continua:

   $$=\frac{1}{\sqrt{0+1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$
2. 2

   Verifica con il teorema di L'Hôpital e lo sviluppo di Taylor

   Applico L'Hôpital (la forma è $0/0$): derivata del numeratore $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}-1)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, derivata del denominatore $1$.

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2}$$

   Applico lo sviluppo di Taylor di $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+O(x^2)$:

   $$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{1+\frac{x}{2}+O(x^2)-1}{x}=\frac{\frac{x}{2}+O(x^2)}{x}=\frac{1}{2}+O(x)\to \frac{1}{2}$$

   Tutti i metodi concordano, il risultato è $\frac{1}{2}$.

Domande frequenti

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