Limite di $\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x-3\right)}$ per $x\to 3$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Semplificazione algebrica

   La funzione presenta una forma indeterminata $0/0$ per $x\to 3$.

   Scomponiamo il numeratore usando la differenza di quadrati:

   $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$$

   Per $x\ne 3$ possiamo cancellare $x-3$, ottenendo:

   $$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,x\ne 3$$

   Pertanto il limite per $x$ che tende a $3$ vale:

   $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=3+3=6$$
2. 2

   Verifica con il teorema di L'Hôpital e sviluppo di Taylor

   Per confermare il risultato, applichiamo metodi indipendenti.

   Regola di L'Hôpital: la forma è $0/0$, deriviamo numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}\stackrel{H}{=}\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x}{1}=2\cdot 3=6$$

   Sviluppo di Taylor (intorno a $x=3$): Poniamo $x=3+h$ con $h\to 0$.

   Allora:

   $$x^2-9=(3+h{)}^2-9=9+6h+h^2-9=6h+h^2$$

   $$\frac{6h+h^2}{h}=6+h\to 6\text{per }h\to 0$$

   Entrambi i metodi confermano il limite $6$, quindi il risultato è corretto.

Domande frequenti

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