Limite di $x\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione e limite notevole

   Il limite da calcolare è $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sin (1/x)$.

   Poniamo $t=1/x$; quando $x\to +\infty$, $t\to 0^{+}$ e $x=1/t$.

   L'espressione diventa:

   $$\frac{1}{t}\sin (t)=\frac{\sin t}{t}.$$

   Il limite fondamentale $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ fornisce immediatamente il risultato, indipendentemente dal lato di approccio.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sin (1/x)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1.$$
2. 2

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Riscriviamo il limite nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin (1/x)}{1/x}.$$

   Deriviamo separatamente numeratore e denominatore rispetto a $x$:

   - $D[\sin (1/x)]=\cos (1/x)\cdot (-1/x^2)$, - $D[1/x]=-1/x^2$.

   Il rapporto delle derivate è:

   $$\frac{\cos (1/x)\cdot (-1/x^2)}{-1/x^2}=\cos (1/x).$$

   Calcolando il limite di $\cos (1/x)$ per $x\to +\infty$ si ottiene $\cos (0)=1$.

   Pertanto il risultato è confermato.

Domande frequenti

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