Limite di ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Limite notevole del numero di Nepero

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ è uno dei limiti fondamentali dell'analisi, che definisce la costante $e$.

   La forma è indeterminata del tipo $1^{\infty }$, ma il risultato converge al numero di Nepero.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

   Tale risultato è dimostrabile, ad esempio, passando al logaritmo e applicando il limite notevole ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ oppure utilizzando il teorema del confronto con successioni.

   Verifica: il limite è indipendente dal percorso (x reale o intero) e vale esattamente $e$.

Domande frequenti

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