Limite di $\frac{\tan \left(x\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identificazione della forma indeterminata

   Per $x\to 0$, sia $\tan x$ che $x$ tendono a 0, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

   Procediamo con metodi standard di risoluzione.

2. 2

   Applicazione di L'Hôpital (primo metodo)

   Applicando il teorema di L'Hôpital, deriviamo numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}\tan x}{\frac{d}{dx}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sec }^{2}x}{1}$$

   Poiché ${\sec }^{2}0=1$, otteniamo:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }{\sec }^{2}x=1$$
3. 3

   Verifica con sviluppo di Taylor (secondo metodo)

   Espandiamo $\tan x$ in serie di Maclaurin:

   $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$

   Allora:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)\right)=1$$
4. 4

   Conferma del risultato

   Entrambi i metodi portano allo stesso risultato: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$.

   Il limite è quindi determinato e vale 1.

Domande frequenti

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