Limite di $\frac{\sin \left(3\cdot x\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Limite notevole del seno

   Il limite presenta una forma indeterminata $0/0$.

   Utilizziamo il limite notevole ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.

   Riscriviamo l'espressione moltiplicando e dividendo per $3$:

   $$\frac{\sin (3x)}{x}=3\cdot \frac{\sin (3x)}{3x}$$

   Ponendo $u=3x$, quando $x\to 0$ anche $u\to 0$, quindi:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}=3\cdot \underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=3\cdot 1=3$$
2. 2

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Applichiamo la regola di L'Hôpital, valida per la forma $0/0$.

   Deriviamo numeratore e denominatore:

   $$D[\sin (3x)]=3\cos (3x),D[x]=1$$

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\cos (3x)}{1}=3\cos (0)=3$$

   Il risultato coincide con quello del limite notevole, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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