Limite di $\frac{\left(1-\cos \left(x\right)\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Limite notevole e sostituzione diretta con forma indeterminata

   Il limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}$ si presenta nella forma indeterminata $0/0$ perché $\cos 0=1$ e il denominatore tende a $0$.

   Non possiamo applicare la sostituzione diretta, ma riconosciamo il limite notevole $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

   Moltiplicando numeratore e denominatore per $x$ otteniamo:

   $$\frac{1-\cos x}{x}=\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x$$

   Poiché il primo fattore tende a $1/2$ e $x\to 0$, il prodotto tende a $0$.

2. 2

   Regola di L'Hôpital

   Per la forma $0/0$, deriviamo numeratore e denominatore separatamente:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}{\frac{d}{dx}(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{1}=\sin 0=0$$

   La derivata di $\cos x$ è $-\sin x$, quindi $D(1-\cos x)=\sin x$.

3. 3

   Sviluppo di Taylor (verifica indipendente)

   Sviluppiamo $\cos x$ in serie di Maclaurin:

   $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$$

   Quindi $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots$.

   Dividendo per $x$:

   $$\frac{1-\cos x}{x}=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{24}+\cdots$$

   Per $x\to 0$, tutti i termini tendono a $0$, quindi il limite è $0$.

   La verifica conferma il risultato.

Domande frequenti

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