Limite di $\frac{\tan \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Semplificazione trigonometrica

   Riscriviamo la tangente come rapporto tra seno e coseno: $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$.

   L'espressione diventa:

   $$\frac{\tan (x)}{\sin (x)}=\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}=\frac{1}{\cos (x)},$$

   valida per $\sin (x)\ne 0$, condizione vera in un intorno bucato di $x=0$.

2. 2

   Calcolo del limite per sostituzione diretta

   Ora il limite è:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos (x)}.$$

   Per continuità della funzione coseno, $\cos (0)=1$, quindi il limite vale $1$.

3. 3

   Verifica con lo sviluppo di Taylor (metodo indipendente)

   Sviluppiamo $\sin (x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ e $\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$.

   Allora:

   $$\frac{\tan (x)}{\sin (x)}=\frac{x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)}{x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)}=\frac{1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)}{1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)}\to 1\text{per }x\to 0.$$

   Il risultato è confermato.

Domande frequenti

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