Limite di $\frac{\sin \left(x^2\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento della forma indeterminata

   Il limite ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x^2)}{x}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$, poiché $\sin (x^2)\to 0$ e $x\to 0$.

   La strategia è riscrivere l'espressione per sfruttare il limite notevole ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.

2. 2

   Manipolazione algebrica e limite notevole

   Riscriviamo la frazione moltiplicando e dividendo per $x$:

   $$\frac{\sin (x^2)}{x}=\frac{\sin (x^2)}{x^2}\cdot x.$$

   Poiché $x\to 0$, si ha $x^2\to 0$.

   Applicando il limite notevole:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{x^2}=1.$$

   Pertanto:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin (x^2)}{x^2}\cdot x\right)=1\cdot 0=0.$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Applichiamo la regola di L'Hôpital alla forma $\frac{0}{0}$: Derivata del numeratore: $D[\sin (x^2)]=\cos (x^2)\cdot 2x$.

   Derivata del denominatore: $D[x]=1$.

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x^2)\cdot 2x}{1}=2\cdot 0\cdot \cos (0)=0.$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto tramite il limite notevole.

4. 4

   Conclusione

   Entrambi i metodi (manipolazione con limite notevole e regola di L'Hôpital) portano allo stesso risultato.

   Inoltre, lo sviluppo di Taylor $\sin (x^2)=x^2+o(x^2)$ conferma che il limite è zero.

   Quindi:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{x}=0.$$

Domande frequenti

Esercizi correlati