Limite di $\frac{\sin \left(5\cdot x\right)}{\left(2\cdot x\right)}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Manipolazione algebrica del limite fondamentale

   Riscriviamo l’espressione per sfruttare il limite notevole $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$.

   $$\frac{\sin (5x)}{2x}=\frac{5}{2}\cdot \frac{\sin (5x)}{5x}$$

   Poiché $5x\to 0$ quando $x\to 0$, applicando il limite fondamentale si ottiene:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (5x)}{2x}=\frac{5}{2}\cdot 1=\frac{5}{2}$$
2. 2

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Il limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$.

   Deriviamo numeratore e denominatore:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (5x)}{2x}\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5\cos (5x)}{2}=\frac{5\cdot 1}{2}=\frac{5}{2}$$

   La derivata di $\sin (5x)$ è $5\cos (5x)$, quella di $2x$ è $2$.

   Il risultato coincide, confermando il calcolo.

Domande frequenti

Esercizi correlati