Limite di $\frac{\ln \left(1+3\cdot x\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Forma indeterminata 0/0

   Per $x\to 0$, il numeratore $\ln (1+3x)\to \ln (1)=0$ e il denominatore $x\to 0$, quindi si presenta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

   Utilizzeremo il limite notevole $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$.

2. 2

   Applicazione del limite notevole

   Poniamo $t=3x$.

   Quando $x\to 0$, $t\to 0$.

   Riscriviamo il limite:

   $$\frac{\ln (1+3x)}{x}=3\cdot \frac{\ln (1+3x)}{3x}=3\cdot \frac{\ln (1+t)}{t}.$$

   Passando al limite, $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$, quindi il limite cercato è $3\cdot 1=3$.

3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Deriviamo numeratore e denominatore: $D[\ln (1+3x)]=\frac{3}{1+3x}$, $D[x]=1$.

   Il limite diventa

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3/(1+3x)}{1}=\frac{3}{1+0}=3.$$

   Il risultato coincide, confermando il calcolo.

Domande frequenti

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