Limite di $\frac{\left(e^{\left(2\cdot x\right)}-1\right)}{x}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento della forma indeterminata

   Sostituiamo $x=0$ nella funzione: $e^{2\cdot 0}-1=1-1=0$ e il denominatore è $0$.

   Si presenta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$, quindi possiamo applicare tecniche appropriate.

2. 2

   Applicazione del limite notevole

   Usiamo il limite notevole ${\lim }_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$.

   Poniamo $t=2x$, così $x\to 0$ implica $t\to 0$.

   Riscriviamo:

   $$\frac{e^{2x}-1}{x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2=2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}=2\cdot \frac{e^t-1}{t}$$

   Quindi il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot \underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=2\cdot 1=2$$
3. 3

   Verifica con la regola di L'Hôpital

   Deriviamo numeratore e denominatore separatamente:

   - $D\left(e^{2x}-1\right)=2e^{2x}$ - $D(x)=1$

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^{2x}}{1}=2e^0=2$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto dal limite notevole.

4. 4

   Verifica con lo sviluppo di Taylor

   Sviluppiamo $e^{2x}$ in serie di Maclaurin: $e^{2x}=1+2x+\frac{(2x{)}^2}{2!}+O(x^3)=1+2x+2x^2+O(x^3)$.

   Sostituiamo:

   $$\frac{e^{2x}-1}{x}=\frac{2x+2x^2+O(x^3)}{x}=2+2x+O(x^2)\stackrel{x\to 0}{\to }2$$

   Anche in questo caso il limite è $2$, confermando il risultato.

Domande frequenti

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