Limite di $\frac{\left(\cos \left(x\right)-1\right)}{x^2}$ per $x\to 0$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento della forma indeterminata e applicazione di L'Hôpital

   Il limite ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos (x)-1}{x^2}$ si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

   Possiamo applicare la regola di L'Hôpital, derivando separatamente numeratore e denominatore.

   Derivata del numeratore: $\frac{d}{dx}(\cos (x)-1)=-\sin (x)$.

   Derivata del denominatore: $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$.

   Il limite diventa:

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin (x)}{2x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}.$$

   Usando il limite notevole ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$, otteniamo $-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}$.

2. 2

   Verifica con sviluppo di Taylor

   Per confermare il risultato, utilizziamo lo sviluppo in serie di Taylor di $\cos (x)$ nell'intorno di $0$:

   $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$

   Allora:

   $$\cos (x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$

   Dividendo termine a termine per $x^2$:

   $$\frac{\cos (x)-1}{x^2}=-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2).$$

   Passando al limite per $x\to 0$, i termini di ordine superiore si annullano, lasciando il valore $-\frac{1}{2}$.

   I due metodi concordano.

Domande frequenti

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