Limite di $\frac{5\cdot x}{\sqrt{x^2+1}}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura algebrica

   Per $x\to +\infty$, sia il numeratore $5x$ che il denominatore $\sqrt{x^2+1}$ divergono.

   Manipoliamo la frazione mettendo in evidenza $x$ sotto radice:

   $$\frac{5x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{5x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\frac{5x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{5}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.$$

   L'ultimo passaggio vale perché $x>0$ per $x\to +\infty$, quindi $|x|=x$.

2. 2

   Calcolo del limite e verifica

   Ora passiamo al limite:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.$$

   Poiché $\frac{1}{x^2}\to 0$, otteniamo $\sqrt{1+0}=1$, quindi il limite vale $5$.

   Verifica con la regola di L'Hôpital (forma $\infty /\infty$): derivata del numeratore è $5$, derivata del denominatore è $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, quindi il limite diventa ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{5}{x/\sqrt{x^2+1}}=5{\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=5{\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=5$.

   I risultati coincidono.

Domande frequenti

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