Integrale di $\frac{x}{\left(x^2+1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Integrazione per sostituzione (riconoscimento della derivata del denominatore)

   Il numeratore $x$ è essenzialmente la derivata del denominatore $x^2+1$ a meno di un fattore costante.

   Poniamo $u=x^2+1$; allora $du=2xdx$, da cui $xdx=\frac{1}{2}du$.

   Sostituiamo:

   $$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln |u|+C.$$

   Poiché $u=x^2+1>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$, possiamo togliere il valore assoluto: $\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$.

   Verifica: deriviamo il risultato:

   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{x}{x^2+1},$$

   che coincide con l'integranda originale.

   L'integrale è corretto.

Domande frequenti

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