Integrale di $\tan \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

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   Riscrittura di $\tan(x)$

   L'integrale di $\tan (x)$ viene espresso nella forma $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$, che suggerisce una sostituzione del denominatore:

   $$\int \tan (x)dx=\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx$$

   L'obiettivo è ricondurci a un integrale immediato $\int \frac{1}{u}du=\ln |u|$.

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   Sostituzione $u = \cos(x)$

   Poniamo $u=\cos (x)$.

   Calcoliamo il differenziale: $du=-\sin (x)dx$, da cui $\sin (x)dx=-du$.

   Sostituiamo nell'integrale:

   $$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx=\int \frac{1}{\cos (x)}\cdot \sin (x)dx=\int \frac{1}{u}\cdot (-du)=-\int \frac{1}{u}du$$
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   Integrazione immediata e ritorno in $x$

   L'integrale di $\frac{1}{u}$ è $\ln |u|$, quindi:

   $$-\int \frac{1}{u}du=-\ln |u|+C$$

   Sostituendo $u=\cos (x)$ otteniamo:

   $$-\ln |\cos (x)|+C$$

   Si può anche scrivere come $\ln |\sec (x)|+C$, essendo $-\ln |\cos (x)|=\ln \left|\frac{1}{\cos (x)}\right|=\ln |\sec (x)|$.

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   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato $F(x)=-\ln |\cos (x)|$:

   $$F^{\prime }(x)=-\frac{1}{\cos (x)}\cdot (-\sin (x))=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\tan (x)$$

   La derivata coincide con l'integranda, quindi il calcolo è corretto.

Domande frequenti

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