Integrale di $\sin \left(x\right)\cdot {\cos \left(x\right)}^2$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione trigonometrica

   L'integrale $\int \sin (x){\cos }^2(x)dx$ si risolve ponendo $u=\cos (x)$.

   Allora $du=-\sin (x)dx$, quindi $\sin (x)dx=-du$.

   Sostituendo:

   $$\int \sin (x){\cos }^2(x)dx=\int u^2\cdot (-du)=-\int u^{2}du$$
2. 2

   Integrazione di potenza e verifica

   Integriamo $-\int u^{2}du=-\frac{u^3}{3}+C$.

   Ricordando che $u=\cos (x)$, otteniamo:

   $$-\frac{1}{3}{\cos }^3(x)+C$$

   Verifica: derivando rispetto a $x$:

   $$\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{3}{\cos }^3(x)+C\right]=-\frac{1}{3}\cdot 3{\cos }^2(x)\cdot (-\sin (x))={\cos }^2(x)\sin (x)=\sin (x){\cos }^2(x)$$

   che coincide con l'integranda.

   L'integrale è corretto.

Domande frequenti

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