Integrale di $x\cdot \sqrt{x^2+1}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione semplice

   Cerchiamo di semplificare l'integranda $x\sqrt{x^2+1}$.

   Poniamo $u=x^2+1$, da cui $du=2xdx$.

   Allora $xdx=\frac{du}{2}$.

   Sostituendo:

   $$\int x\sqrt{x^2+1}dx=\int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{1/2}du$$

   Integriamo $u^{1/2}$:

   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}=\frac{1}{3}{u}^{3/2}$$

   Sostituendo $u=x^2+1$ otteniamo la primitiva $\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}$.

   Aggiungiamo la costante $C$.

2. 2

   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato $\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C$:

   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}\right]=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^2+1{)}^{1/2}\cdot 2x=\frac{1}{2}\cdot 2x\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{x^2+1}$$

   La derivata coincide con l'integranda, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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