Integrale di $x\cdot e^{\left(x^2\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Integrazione per sostituzione (u-substitution)

   Riconosciamo nell'integranda $x{e}^{x^2}$ la presenza della derivata dell'esponente $x^2$ moltiplicata esternamente, fatto che suggerisce la sostituzione:

   Sia $u=x^2$, da cui $du=2xdx$ e quindi $xdx=\frac{du}{2}$.

   Sostituendo nell'integrale:

   $$\int x{e}^{x^2}dx=\int e^u\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}{e}^u+C=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C.$$

   Verifica: derivando il risultato si ottiene la funzione integranda originale, confermando la correttezza del calcolo.

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}\cdot 2x=x{e}^{x^2}.$$

Domande frequenti

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