Integrale di $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione diretta: $u = x^2 + 1$

   L'integrale $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$ si risolve ponendo $u=x^2+1$.

   Allora $du=2xdx$, quindi $xdx=\frac{1}{2}du$.

   Sostituendo:

   $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{-1/2}du$$

   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2}+C=u^{1/2}+C=\sqrt{x^2+1}+C$$
2. 2

   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato per conferma: $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+1}+C\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, che coincide esattamente con l'integranda originale.

Domande frequenti

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