Integrale di $x^2\cdot \ln \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Integrazione per parti

   L'integrale $\int x^2\ln xdx$ è un prodotto di una potenza e di un logaritmo.

   Si applica la formula di integrazione per parti: $\int udv=uv-\int vdu$.

   Scegliamo:

   $$u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$$

   $$dv=x^{2}dx\Rightarrow v=\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$

   Allora:

   $$\int x^2\ln xdx=\ln x\cdot \frac{x^3}{3}-\int \frac{x^3}{3}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx$$

   L'integrale rimanente è immediato:

   $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$

   Sostituendo:

   $$\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\cdot \frac{x^3}{3}+C=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C$$

   Per verifica, derivando il risultato:

   $$D\left[\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}\right]=x^2\ln x+\frac{x^3}{3}\cdot \frac{1}{x}-\frac{x^2}{3}=x^2\ln x+\frac{x^2}{3}-\frac{x^2}{3}=x^2\ln x$$

   che coincide con l'integranda, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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