Integrale di $\ln \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Scelta dell'integrazione per parti

   L'integrale $\int \ln (x)dx$ si risolve applicando la formula di integrazione per parti:

   $$\int udv=uv-\int vdu$$

   Scegliamo $u=\ln (x)$ e $dv=dx$, in modo che la derivata di $u$ semplifichi l'integrale.

   Calcoliamo:

   $$du=\frac{1}{x}dx,v=x$$
2. 2

   Applicazione della formula

   Sostituiamo nella formula per parti:

   $$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln (x)-\int 1dx$$

   L'integrale di $1$ rispetto a $x$ è $x$, quindi:

   $$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$$

   dove $C$ è la costante di integrazione.

3. 3

   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato per controllare che si ottenga l'integranda originale:

   $$\frac{d}{dx}\left(x\ln (x)-x+C\right)=\ln (x)+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln (x)+1-1=\ln (x)$$

   La derivata coincide con $\ln (x)$, confermando la correttezza dell'integrale.

Domande frequenti

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