Integrale di $x\cdot e^x$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Scelta di integrazione per parti

   L'integrale $\int x{e}^{x}dx$ è nella forma prodotto di una funzione polinomiale ($x$) e una esponenziale ($e^x$).

   La tecnica standard è l'integrazione per parti: $\int udv=uv-\int vdu$.

   Scegliamo $u=x$ (derivata semplice) e $dv=e^{x}dx$ (facilmente integrabile).

2. 2

   Applicazione della formula e risultato

   Calcoliamo $du=dx$ e $v=\int e^{x}dx=e^x$.

   Applicando la formula:

   $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C.$$

   Verifica: derivando il risultato si ottiene $e^x(x-1)+e^x=x{e}^x$, che coincide con l'integranda.

Domande frequenti

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