Integrale di $x\cdot \cos \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Integrazione per parti

   L'integrale richiesto $\int x\cos (x)dx$ si risolve applicando la tecnica di integrazione per parti.

   Scegliamo $u=x$ e $dv=\cos (x)dx$.

   Allora $du=dx$ e $v=\sin (x)$.

   La formula $\int udv=uv-\int vdu$ fornisce:

   $$\int x\cos (x)dx=x\sin (x)-\int \sin (x)dx$$

   L'integrale rimanente $\int \sin (x)dx$ è immediato e vale $-\cos (x)$.

   Sostituendo:

   $$x\sin (x)-(-\cos (x))+C=x\sin (x)+\cos (x)+C$$

   dove $C$ è la costante di integrazione.

2. 2

   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato ottenuto per verificare che coincida con l'integranda.

   Calcoliamo $D[x\sin (x)+\cos (x)+C]$:

   $$\frac{d}{dx}[x\sin (x)]=1\cdot \sin (x)+x\cdot \cos (x)=\sin (x)+x\cos (x)$$

   $$\frac{d}{dx}[\cos (x)]=-\sin (x)$$

   Sommando: $\sin (x)+x\cos (x)-\sin (x)=x\cos (x)$.

   La derivata della costante $C$ è nulla.

   Quindi si ottiene esattamente $x\cos (x)$, confermando la correttezza dell'integrale.

Domande frequenti

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