Integrale di $x^2\cdot e^x$

Svolgimento passo-passo

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   Prima integrazione per parti

   Scegliamo $u=x^2$ e $dv=e^{x}dx$, da cui $du=2xdx$ e $v=e^x$.

   Applicando la formula $\int udv=uv-\int vdu$ otteniamo:

   $$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\int e^x\cdot 2xdx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$$

   Rimane da calcolare $\int x{e}^{x}dx$ con una seconda integrazione per parti.

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   Seconda integrazione per parti e verifica

   Per $\int x{e}^{x}dx$ poniamo $u=x$, $dv=e^{x}dx$, quindi $du=dx$, $v=e^x$.

   Allora:

   $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C_1$$

   Sostituendo nell'espressione precedente:

   $$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)+C=e^x(x^2-2x+2)+C$$

   Verifica: derivando $e^x(x^2-2x+2)+C$ si ottiene $e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)=e^x{x}^2$, che coincide con l'integranda.

Domande frequenti

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