Integrale di $x\cdot \ln \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

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   Integrazione per parti: scelta di $u$ e $dv$

   Scegliamo $u=\ln (x)$ e $dv=xdx$, così da semplificare la derivata logaritmica.

   Calcoliamo differenziale e primitiva:

   $$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$$

   Applicando la formula $\int udv=uv-\int vdu$, otteniamo:

   $$\int x\ln (x)dx=\frac{x^2}{2}\ln (x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln (x)-\frac{1}{2}\int xdx$$
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   Calcolo dell'integrale residuo e semplificazione

   L'integrale rimanente è immediato:

   $$\int xdx=\frac{x^2}{2}$$

   Sostituiamo e aggiungiamo la costante di integrazione $C$:

   $$\frac{x^2}{2}\ln (x)-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}+C=\frac{x^2}{2}\ln (x)-\frac{x^2}{4}+C$$

   Il risultato può alternativamente essere scritto come $\frac{x^2}{4}(2\ln x-1)+C$.

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   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato per conferma.

   La derivata di $\frac{x^2}{2}\ln (x)$ è $x\ln (x)+\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}=x\ln (x)+\frac{x}{2}$.

   La derivata di $-\frac{x^2}{4}$ è $-\frac{x}{2}$.

   Sommando, otteniamo $x\ln (x)+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln (x)$, che coincide con l'integranda.

   L'integrale è corretto.

Domande frequenti

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