Integrale di $e^x\cdot \sin \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

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   Prima integrazione per parti

   Scegliamo $u=\sin x$, $dv=e^{x}dx$.

   Allora $du=\cos xdx$, $v=e^x$.

   Applicando la formula:

   $$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$$
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   Seconda integrazione per parti

   Ora calcoliamo $\int e^x\cos xdx$ ponendo $u=\cos x$, $dv=e^{x}dx$, da cui $du=-\sin xdx$, $v=e^x$:

   $$\int e^x\cos xdx=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$$
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   Risoluzione dell'equazione per l'integrale

   Sostituiamo il risultato nell'espressione originale.

   Sia $I=\int e^x\sin xdx$:

   $$I=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+I\right)=e^x\sin x-e^x\cos x-I$$

   Quindi $2I=e^x(\sin x-\cos x)$, e infine:

   $$I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$$
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   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato $F(x)=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)$:

   $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left[e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)\right]=\frac{1}{2}{e}^x(2\sin x)=e^x\sin x$$

   L’integranda originale è $e^x\sin x$, quindi il risultato è corretto.

Domande frequenti

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