Integrale di $x\cdot \sqrt{x+1}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione e semplificazione algebrica

   L'integrale $\int x\sqrt{x+1}dx$ viene risolto con la sostituzione $t=x+1$, da cui $x=t-1$ e $dx=dt$.

   L'integranda diventa:

   $$\int (t-1)\sqrt{t}dt=\int \left(t^{3/2}-t^{1/2}\right)dt$$

   Integrando termine a termine:

   $$\int t^{3/2}dt=\frac{t^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}{t}^{5/2},\int t^{1/2}dt=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}{t}^{3/2}$$

   Ottieni $\frac{2}{5}{t}^{5/2}-\frac{2}{3}{t}^{3/2}+C$.

   Si risostituisce $t=x+1$ e si raccoglie $(x+1{)}^{3/2}$ per semplificare:

   $$(x+1{)}^{3/2}\left[\frac{2}{5}(x+1)-\frac{2}{3}\right]=\frac{2}{15}(3x-2)(x+1{)}^{3/2}+C$$
2. 2

   Verifica mediante derivazione

   Per controllare, deriviamo $F(x)=\frac{2}{15}(3x-2)(x+1{)}^{3/2}$:

   $$F^{\prime }(x)=\frac{2}{15}\left[3\cdot (x+1{)}^{3/2}+(3x-2)\cdot \frac{3}{2}(x+1{)}^{1/2}\right]$$

   Raccogliendo $(x+1{)}^{1/2}$:

   $$F^{\prime }(x)=\frac{2}{15}(x+1{)}^{1/2}\left[3(x+1)+\frac{3}{2}(3x-2)\right]$$

   Il termine tra parentesi si semplifica:

   $$3x+3+\frac{9x}{2}-3=\frac{15x}{2}$$

   Quindi $F^{\prime }(x)=\frac{2}{15}\cdot \frac{15x}{2}(x+1{)}^{1/2}=x\sqrt{x+1}$, che coincide con l'integranda.

   La verifica è positiva.

Domande frequenti

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