Integrale di $\frac{1}{\left(x^2+1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riconoscimento dell'integrale immediato

   L'integrale $\int \frac{1}{x^2+1}dx$ è un integrale noto, riconducibile direttamente alla derivata dell'arcotangente.

   Sappiamo che:

   $$\frac{d}{dx}\left[\arctan (x)\right]=\frac{1}{1+x^2}.$$

   Pertanto, per il teorema fondamentale del calcolo integrale (antiderivata), si ha:

   $$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan (x)+C,$$

   dove $C$ è la costante di integrazione.

2. 2

   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato proposto per assicurarci che coincida con l'integranda:

   $$\frac{d}{dx}\left[\arctan (x)+C\right]=\frac{1}{1+x^2}+0.$$

   La derivata è esattamente $\frac{1}{x^2+1}$, confermando la correttezza dell'integrale.

Domande frequenti

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