Integrale di $\frac{1}{\left(x\cdot \ln \left(x\right)\right)}$

Svolgimento passo-passo

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   Sostituzione: $u = \ln(x)$

   L'integrale è $\int \frac{1}{x\ln (x)}dx$.

   Notiamo che la derivata di $\ln (x)$ è $\frac{1}{x}$, quindi poniamo $u=\ln (x)$.

   Allora $du=\frac{1}{x}dx$, e l'integrale diventa:

   $$\int \frac{1}{x\ln (x)}dx=\int \frac{1}{x\cdot u}(xdu)=\int \frac{1}{u}du$$

   Ora l'integrale è nella forma standard.

2. 2

   Integrale di $\frac{1}{u}$

   L'integrale di $\frac{1}{u}$ è il logaritmo naturale del valore assoluto:

   $$\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C$$

   Sostituendo $u=\ln (x)$, otteniamo:

   $$\ln |\ln (x)|+C$$

   Il dominio richiede $x>0$ e $x\ne 1$ (per evitare $\ln (x)=0$).

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   Verifica con derivata

   Deriviamo il risultato: $\frac{d}{dx}\left(\ln |\ln (x)|+C\right)$.

   Usando la regola della catena: $\frac{d}{dx}\ln |\ln (x)|=\frac{1}{\ln (x)}\cdot \frac{d}{dx}(\ln (x))=\frac{1}{\ln (x)}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln (x)}$.

   La derivata coincide con l'integranda, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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