Integrale di ${\sin \left(x\right)}^2$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Identità trigonometrica per $\sin^2(x)$

   Utilizziamo la formula di bisezione: ${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$.

   Questo permette di trasformare l'integrale in una combinazione di funzioni elementari.

   $$\int {\sin }^2(x)dx=\int \frac{1-\cos (2x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int 1dx-\frac{1}{2}\int \cos (2x)dx$$
2. 2

   Integrazione e risultato

   Integriamo termine a termine: $\int 1dx=x$, $\int \cos (2x)dx=\frac{1}{2}\sin (2x)$.

   Sostituiamo:

   $$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin (2x)+C=\frac{x}{2}-\frac{\sin (2x)}{4}+C$$

   Verifica: derivando il risultato otteniamo $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot 2\cos (2x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}={\sin }^2(x)$, che coincide con l'integranda.

Domande frequenti

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